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Titelaufnahme

Titel
Congruence Preserving Functions on Groups and Rings / eingereicht von DI Frederik Saxinger
VerfasserSaxinger, Frederik
Begutachter / BegutachterinAichinger, Erhard ; Maxson, Carlton J.
ErschienenLinz, Februar 2016
Umfangxii, 151 Seiten : Illustrationen
HochschulschriftUniversität Linz, Univ., Dissertation, 2016
Anmerkung
Zusammenfassung in deutscher Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)kongruenzerhaltende Funktionen / Polynomfunktionen / affinvollständig / lokaler Ring
Schlagwörter (EN)congruence preserving functions / polynomial functions / affine complete / local ring
Schlagwörter (GND)Ganzrationale Funktion / Kongruenzrelation / Stellenring
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-8053 Persistent Identifier (URN)
Zugriffsbeschränkung
 Das Werk ist gemäß den "Hinweisen für BenützerInnen" verfügbar
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Congruence Preserving Functions on Groups and Rings [1.36 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir kongruenzerhaltende Funktionen auf Gruppen und Ringen. Die Entscheidung, ob eine allgemeine Algebra affinvollständig ist, d.h. jede kongruenzerhaltende Funktion ist auch eine Polynomfunktion, ist immernoch ein offenes Problem der universellen Algebra. Es gibt einige Resultate über die Affinvollständigkeit von Gruppen (z.B. von abelschen Gruppen) und erweiterten Gruppen. Wir bestimmen den Affinvollständigkeitsstatus von kleinen Gruppen. Die kleinsten Gruppen, deren Status noch nicht bekannt war, sind die Gruppen 72/32, 72/34, 64/73 and 64/76 (GAP-Index). In dieser Arbeit werden wir den Status dieser Gruppen bestimmen. Weiters werden wir die Struktur des von den unären nullsymmetrischen kongruenzerhaltenden Funktionen einer Gruppe erzeugten Fastrings untersuchen. 1971 untersuchte A. John Chandy die Struktur des durch die inneren Automorphismen einer Gruppe erzeugten Fastrings, welcher indentisch ist zu dem durch alle nullsymmetrischen unären Polynomfunktionen erzeugten Fastrings. Wir werden sagen eine Gruppe hat die (CR)-Eigenschaft falls der Fastring der unären nullsymmetrischen kongruenzerhaltenden Funktionen einen Ring bildet, d.h. die Addition ist abelsch und die Multiplikation ist distributiv. Zuerst werden wir zeigen, dass man nur p-Gruppen betrachten muss um die (CR)-Eigenschaft für alle endlichen Gruppen zu charakterisieren. Anschließend werden wir diese Eigenschaft für folgende Klassen von Gruppen charakterisieren: - abelsche Gruppen, - p-Gruppen (p >2) mit spaltenden Kongruenzverbänden, - p-Gruppen mit zerschneidenden Kongruenzverbänden, - 2-Gruppen mit Exponent 4, deren Kommutatoruntergruppe elementar abelsch und zentral ist, - p-Gruppen (p > 2) der Ordnung p^3 und p^4. Weiters untersuchen wir die 1-Affinvollständigkeit von lokalen kommutativen Ringen. Zuerst werden wir beweisen, dass man nur das Jakobsonradikal zu betrachten braucht und wir werden einige Bedingungen angeben, bei denen ein lokaler Ring nicht 1-affinvollständig sein kann. Schließlich werden wir bestimmen für welche n ∈ N und p ∈ P der Ring Z_p[x,y]/(x^n,y^n,xy) 1-affinvollständig ist.

Zusammenfassung (Englisch)

In the present thesis we study congruence preserving functions on groups and rings. Deciding if a general algebra is affine complete, i.e. every congruence preserving function is a polynomial function, is still an open problem of universal algebra. There are several results for groups (eg. for abelian groups) and for expanded groups. We will determin the affine completeness status of small groups. The smallest groups for which the status was still unknown are the groups 72/32, 72/34, 64/73 and 64/76 (GAP-index). In this work we determine the status of these groups. Further we will investigate the structure of the near-ring of zero-symmetric congruence preserving functions for groups. In 1971, A. John Chandy characterized when the near-ring generated by inner automorphisms, which is identical to the near-ring of all zero-symmetric polynomial functions, is a ring. We will say a group has (CR)-property if the near-ring of zero-symmetric congruence preserving functions forms a ring. First we will show that one has only to look at p-groups to characterize the (CR)-property for finite groups. Further we will characterize this property for the following classes of groups: - abelian groups, - p-groups (p >2) with splitting congruence lattices, - p-groups with cutting congruence lattices, - 2-groups of exponent 4 for which the commutator subgroup is elementary abelian and central, and - p-groups (p > 2) of order p^3 and p^4. Then we will investigate the 1-affine completeness of local commutative rings. First we will prove that one has only to consider the Jacobson radical and we will give some conditions for which a local ring can not be 1-affine complete. Finally we will determine for which n ∈ N and p ∈ P the ring Z_p[x,y]/(x^n,y^n,xy) is 1-affine complete.