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Titelaufnahme

Titel
Isogeometric segmentation of planar domains using harmonic mappings / eingereicht von Antonella Falini
VerfasserFalini, Antonella
Begutachter / BegutachterinJüttler, Bert ; Sampoli, Maria Lucia
ErschienenLinz, Februar 2016
Umfangx, 104, 1 Blätter : Illustrationen
HochschulschriftUniversität Linz, Univ., Dissertation, 2016
Anmerkung
Zusammenfassung in deutscher Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)nicht einfach zusammenhängende Gebiete / isogeometrische Segmentierung / harmonische Abbildungen
Schlagwörter (EN)multiply-connected domains / isogeometric segmentation / harmonic mappings
Schlagwörter (GND)Mehrfach zusammenhängendes Gebiet / Isogeometrische Analyse / Segmentierung / Harmonische Abbildung
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-8573 Persistent Identifier (URN)
Zugriffsbeschränkung
 Das Werk ist gemäß den "Hinweisen für BenützerInnen" verfügbar
Dateien
Isogeometric segmentation of planar domains using harmonic mappings [2.9 mb]
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Klassifikation
Zusammenfassung (Deutsch)

Ziel dieser Arbeit ist es, ein automatisiertes Verfahren zu entwickeln, um sowohl ein zusammenhängendes als auch ein nicht zusammenhängendes Gebiet in viereckige Flächenstücke zu unterteilen. Die Idee ist, ein beliebiges ebenes Zielgebiet in Vierecke aufzuteilen, und diese Segmentierung auf ein spezielles Gebiet zu überführen. Dafür konstruieren wir eine bijektive Abbildung. Falls das Gebiet einfach zusammenhängend ist, wählen wir die Funktion als die eindeutige harmonische Abbildung. Diese existiert, da das Zielgebiet konvex ist und wir wählen das Zielgebiet beispielsweise als Kreisscheibe mit Radius eins. Wir berechnen eine Approximation der harmonischen Abbildung mit Hilfe einer Randelementmethode und eine Approximation ihrer Inversen mittels eines Tracingalgorithmus. Danach wenden wir die inverse Abbildung auf die im Zielgebiet definierte Segmentierung an. Diese Vorgehensweise erzeugt eine Segmentierung des Gebiets. Falls das Gebiet nicht einfach zusammenhängend ist, funktioniert dieser Zugang nicht mehr, da im Allgemeinen die harmonische Abbildung nicht bijektiv ist. Daher bilden wir das nicht einfach zusammenhängend ebene Gebiet auf eine Kreisscheibe ab, von der wir einige Punkte entfernen. Der Satz von Duren und Hengartner stellt sicher, dass die harmonische Abbildung bijektiv ist, falls die Punkte an bestimmten Positionen entfernt werden. Um diese Positionen zu finden, lösen wir ein nichtlineares Minimierungsproblem. Auch hier werden die harmonische Abbildung und deren Inverse mit Hilfe einer Randelementmethode beziehungsweise eines Tracingalgorithmus approximiert. Weiters erstellen wir einen (unvollständigen) Katalog an möglichen Segmentierungen des Zielgebiets, wobei wir auch die Notwendigkeit von Extraordinary Vertices in Betracht ziehen. Wir zeigen das Ergebnis unseres Verfahrens anhand von zahlreichen Beispielen. Weitere Beispiele zeigen, wie unsere Methode in die mathematische Technologie der trunkierten hierarchischen B-Splines integriert werden kann, um passende Parametrisierungen für nicht einfach zusammenhängende Gebiete zu erhalten.

Zusammenfassung (Englisch)

The aim of this work is to provide an automatic procedure that is able to segment any simply or multiply connected domain into quadrilateral patches. The basic idea consists in defining a segmentation of an auxiliary planar target domain into quads and then to transfer such a segmentation to the input domain. In order to achieve this task, we construct a bijective mapping. For the simply connected case, we choose the mapping to be the unique harmonic mapping which exists when the target domain is convex. Therefore, we choose it as the unit disk. We compute an approximation of the harmonic mapping using a boundary element method technique and an approximation of its inverse using a tracing algorithm. We apply the inverse mapping to a predefined segmentation in the target domain. The result is the segmentation of the input domain. For the multiply connected case, the requirement of convexity for the target domain does not guarantee the bijectivity of the harmonic mapping. Hence, we map any multiply connected planar domain to the unit disk with some points removed. The theorem of Duren and Hengartner ensures bijectivity for the harmonic mapping, if the points are in a specific location. Therefore, we solve a non linear minimization problem in order to find the exact location of the punctures. The harmonic mapping and its inverse are approximated using the boundary element method and the tracing algorithm, respectively. In addition we present an (incomplete) catalog of possible segmentations defined in the target domain taking into account the necessity of extraordinary vertices. The performance is demonstrated by numerous examples. Other examples show how this method can be integrated with the mathematical technology of truncated hierarchical B-splines to obtain suitable parameterizations of multiply connected domains.