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Titelaufnahme

Titel
Stabilization to trajectories and approximate controllability for the equations of fluid mechanics / eingereicht von Duy Phan-Duc
AutorInnenPhan-Duc, Duy
Beurteiler / BeurteilerinKunisch, Karl ; Shirikyan, Armen
ErschienenLinz, 2016
Umfangxx, 174 Seiten : Illustrationen
HochschulschriftUniversität Linz, Dissertation, 2016
Anmerkung
In Zusammenarbeit mit dem Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathemathics (RICAM)
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)Navier-Stokes-Gleichungen / Burgersgleichungen / parabolische Gleichungen / Lions-Randbedingungen / Gevrey-Regularität / approximative Steuerbarkeit / Rückkopplungs-Stabilisierung / Riccatische Differentialgleichung / Finite Elemente Methode
Schlagwörter (EN)Navier-Stokes equations / Burgers equations / parabolic equations / Lions boundary conditions / Gevrey regularity / approximate controllability / feedback stabilization / differential Riccati equations / finite element method
Schlagwörter (GND)Strömungsmechanik / Navier-Lamé-Gleichungen / Burgers-Gleichung / Parabolische Differentialgleichung / Finite-Elemente-Methode
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-12497 Persistent Identifier (URN)
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 Das Werk ist gemäß den "Hinweisen für BenützerInnen" verfügbar
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Stabilization to trajectories and approximate controllability for the equations of fluid mechanics [6.94 mb]
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Klassifikation
Zusammenfassung (Deutsch)

Diese Dissertation beschäftigt sich mit drei Problemen: der Gevrey-Regularität, der approximativen Steuerbarkeit sowie der Stabilisierung für Trajektorien für einige Gleichungen aus der Strömungsmechanik. Das Problem der Gevrey-Regularität wird für Navier-Stokes-Gleichungen unter Lions-Randbedingungen analysiert unter der Annahme, dass das Fluid viskos, inkompressibel und homogen ist. Wir studieren Navier-Stokes-Gleichungen in einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit. Hinreichende Bedingungen für die Existenz von Lösungen im Gevrey-Raum werden angegeben. Einige Fälle von offenen Mannigfaltigkeiten, wie z. B. der 2-dimensionalen Kugel; dem 2-dimensionalen und 3-dimensionalen Torus, die in früheren Studien erwähnet wurden, werden betrachtet. Vier neue Ergebnisse unter Lions-Randbedingungen, nämlich für das 2-dimensionale Rechteck, den 2-dimensionalen Zylinder, die 2-dimensionale Halbkugel; sowie für das 3-dimensionale Rechteck werden erzielt. Das Problem der approximativen Steuerbarkeit wird für Navier-Stokes-Gleichungen und 1-dimensionale Burgersgleichungen betrachtet. Nach der Methode von Agrachev--Sarychev wird die approximative Steuerbarkeit mittels weniger Aktuatoren für Navier-Stokes-Systeme in einem 2-dimensionalen unendlichen Flussbett sowie in einem 3-dimensionalen Rechteck bewiesen. Falls das Gebiet ein 2-dimensionales unendliches Flussbett ist, wird die Periodizität in der unendlichen Richtung angenommen. Die Aktuatoren sind die Eigenfunktionen des Stokes-Operators. `Ẁenige'' Aktuatoren bedeutet, dass die Anzahl der Aktuatoren von der Viskosität unabhängig ist. Für den Fall der 1-dimensionalen Burgersgleichungen, wird folgendes Resultat für die Aktuatoren in einer kleinen Teilmenge [omega] erzielt: falls die approximative Steuerbarkeit mit Kontrollen im L2 [L hoch 2]([omega]) gilt, dann gilt sie auch für zwei passende Aktuatoren. Das Problem der Stabilisierung für Trajektorien wird für eine allgemeine Klasse von semilinearen parabolischen Systemen angegangen. Die exponentielle Rückkopplungs-Stabilisierung für (nichtstationäre) Trajektorien wird für eine allgemeine Klasse von semilinearen parabolischen Systemen in einem gegebenen beschränkten Reich betrachtet. Die Kontrollen sind dabei eine endliche Linearkombination von Aktuatoren. Die Träger von sowohl den inneren Aktuatoren als auch von den Randaktuatoren werden in eine kleine Region gelegt. Wir beweisen, dass diese Aktuatoren uns unter passenden Bedingungen zur Famile der Aktuatoren geeignet sind, das System zu stabilisieren. Überdies werden Abschätzungen zur Anzahl der benötigen Aktuatoren aufgestellt. Indem wir das dynamische Programmierung-Prinzip benutzen, können die stabilisierenden Kontrollen als die Rückkopplung genommen werden, sowie mittels der Lösung passender Riccatischer Differentialgleichung berechnet werden. Simulaitionen werden mittels der Nutzung der Finite Elemente Methode erzielt und in MATLAB implementiert.

Zusammenfassung (Englisch)

This dissertation is devoted to three main problems: Gevrey regularity, approximate controllability and stabilization to trajectories for some equations of fluid mechanics. The Gevrey regularity problem is addressed for Navier--Stokes equations under Lions boundary conditions in case the fluid is assumed to be viscous, incompressible and homogeneous. We study the Navier--Stokes systems in a compact Riemannian manifold. Sufficient conditions are given to guarantee that the solution of the systems is well-defined in a Gevrey regularity space. Some cases of boundaryless manifolds such as: the 2D Sphere; the 2D and 3D Torus which were mentioned in earlier studies are revisited. Four new results are obtained under Lions boundary conditions namely, the 2D Rectangle, the 2D Cylinder and the 2D Hemisphere; and the 3D Rectangle. The approximate controllability problem is considered for the Navier--Stokes equations and the 1D Burger equations. Following the Agrachev--Sarychev method, the approximate controllability by means of only few actuators is proven for Navier--Stokes system in a 2D infinite channel and in a 3D Rectangle. In the case of the 2D channel, periodicity is assumed in the infinite direction. The actuators are the eigenfunctions of the Stokes operator. By ``few'' actuators, we mean that the number of them is independent of the viscosity coefficient. For the case of the 1D Burgers equations, a result is obtained for the case where the actuators are constrained in a small subset [omega]. Namely, if approximate controllability holds with controls in L2 [L hoch 2]([omega]) then it also holds by means of two suitable actuators. The stabilization to trajectories problem is addressed for a general class of semilinear parabolic systems. The exponential feedback stabilization to (nonstationary) trajectories for a general class of semilinear parabolic equations in a given bounded domain is addressed. The controls take values in a finite-dimensional space, that is, the values are a linear combination of a given finite number of actuators. Both internal and boundary actuators are supported in small region. We prove that under suitable conditions on the family of actuators, they allow us to stabilize the system. Moreover, some estimates on the number of actuators that we need to stabilize the system are established. Using the Dynamical Programming Principle, the stabilizing controls can be taken in feedback form and be computed by solving a suitable differential Riccati equation. Some simulations are presented by using Finite Element Method (FEM) and performed with MATLAB.

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