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Titelaufnahme

Titel
Rational and algebraic solutions of first-order algebraic ODEs / eingereicht von N. Thieu Vo
VerfasserVo, Ngoc Thieu
Begutachter / BegutachterinWinkler, Franz ; Schwarz, Fritz
ErschienenLinz, October 2016
Umfang93 Seiten : Illustrationen
HochschulschriftUniversität Linz, Univ., Dissertation, 2016
Anmerkung
Zusammenfassung in deutscher Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (EN)rational solution / algebraic solution / algebraic differential equation
Schlagwörter (GND)Gewöhnliche Differentialgleichung / Ordnung 1 / Algebraische Differentialgleichung / Lösung <Mathematik>
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-13060 Persistent Identifier (URN)
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 Das Werk ist gemäß den "Hinweisen für BenützerInnen" verfügbar
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Rational and algebraic solutions of first-order algebraic ODEs [0.65 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Das Hauptziel der vorliegenden Dissertation ist das Studium neuer Algorithmen zur Bestimmung von polynomialen, rationalen und algebraischen Lösungen von algebraischen gewöhnlichen Differentialgleichungen (AODEs) erster Ordnung. Das Problem der Bestimmung von Lösungen von AODEs erster Ordnung in geschlossener Form hat eine lange Geschichte, und spielt nach wie vor in vielen Bereichen der Mathematik eine Rolle. Es gibt einige Lösungsmethoden für spezielle Klassen solcher ODEs. Jedoch gibt es noch immer keinen Entscheidungsalgorithmus für allgemeine AODEs erster Ordnung, selbst wenn man nur nach bestimmten Arten von Lösungen sucht, z.B. polynomialen, rationalen oder algebraischen Funktionen. Unser Interesse gilt algebraischen allgemeinen Lösungen, rationalen allgemeinen Lösungen, speziellen rationalen Lösungen sowie Polynomlösungen. Verschiedene Algorithmen zur Bestimmung solcher Arten von Lösungen von AODEs erster Ordnung werden präsentiert. Wir nähern uns AODEs erster Ordnung aus verschiedenen Richtungen. Wenn die Ableitung der gesuchten Lösung als neue Unbekannte behandelt wird, kann die AODE erster Ordnung als Hyperfläche über dem Grundkörper betrachtet werden. Hierfür sind Werkzeuge aus der algebraischen Geometrie anwendbar. Insbesondere nutzen wir birationale Transformationen von algebraischen Hyperflächen, um die gegebene Differentialgleichung in eine andere zu transformieren, die im Idealfall einfacher zu lösen ist. Dieser geometrische Ansatz führt uns zu einer Prozedur zur Bestimmung einer algebraischen allgemeinen Lösung einer parametrisierbaren AODE erster Ordnung. Eine allgemeine Lösung enthält eine beliebige Konstante. Für das Problem der Bestimmung einer rationalen allgemeinen Lösung, in welcher die Konstante rational auftritt, schlagen wir einen Entscheidungsalgorithmus für die gesamte Klasse von AODEs erster Ordnung vor. Die geometrische Methode ist nicht anwendbar, um spezielle rationale Lösungen zu erhalten. Stattdessen studieren wir diese Art von Lösungen unter kombinatorischen und algebraischen Gesichtspunkten. In der kombinatorischen Betrachtung spielen die Pole der Koeffizienten der Differentialgleichung eine wichtige Rolle, nämlich für die Abschätzung von Kandidaten für Pole der rationalen Lösung und deren Vielfachheiten. Wir schlagen eine algebraische Methode, basierend auf der Theorie algebraischer Funktionenkörper, vor, um den Grad einer rationalen Lösung abzuschätzen. Eine Kombination dieser Methoden führt uns zu einem Algorithmus zur Bestimmung aller rationalen allgemeinen Lösungen für eine generische Klasse von AODEs erster Ordnung, die jede AODE erster Ordnung aus der Sammlung von Kamke einschließt. Für Polynomlösungen funktioniert der Algorithmus in der gesamten Klasse von AODEs erster Ordnung.

Zusammenfassung (Englisch)

The main aim of this thesis is to study new algorithms for determining polynomial, rational and algebraic solutions of first-order algebraic ordinary differential equations (AODEs). The problem of determining closed form solutions of first-order AODEs has a long history, and it still plays a role in many branches of mathematics. There is a bunch of solution methods for specific classes of such ODEs. However still no decision algorithm for general first-order AODEs exists, even for seeking specific kinds of solutions such as polynomial, rational or algebraic functions. Our interests are algebraic general solutions, rational general solutions, particular rational solutions and polynomial solutions. Several algorithms for determining these kinds of solutions for first-order AODEs are presented. We approach first-order AODEs from several aspects. By considering the derivative as a new indeterminate, a first-order AODE can be viewed as a hypersurface over the ground field. Therefore tools from algebraic geometry are applicable. In particular, we use birational transformations of algebraic hypersurfaces to transform the differential equation to another one for which we hope that it is easier to solve. This geometric approach leads us to a procedure for determining an algebraic general solution of a parametrizable first-order AODE. A general solution contains an arbitrary constant. For the problem of determining a rational general solution in which the constant appears rationally, we propose a decision algorithm for the general class of first-order AODEs. The geometric method is not applicable for studying particular rational solutions. Instead, we study this kind of solutions from combinatorial and algebraic aspects. In the combinatorial consideration, poles of the coefficients of the differential equation play an important role in the estimation of candidates for poles of a rational solution and their multiplicities. An algebraic method based on algebraic function field theory is proposed to globally estimate the degree of a rational solution. A combination of these methods leads us to an algorithm for determining all rational solutions for a generic class of first-order AODEs, which covers every first-order AODEs from Kamke's collection. For polynomial solutions, the algorithm works for the general class of first-order AODEs.