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Titelaufnahme

Titel
Univariate contraction and multivariate desingularization of Ore ideals / eingereicht von Yi Zhang
Weitere Titel
Univariate Kontraktion von Multivariate Desingularisierung von Oreidealen
VerfasserZhang, Yi
Begutachter / BegutachterinKauers, Manuel ; Li, Ziming
ErschienenLinz, November 2016
Umfang80 Seiten
HochschulschriftUniversität Linz, Univ., Dissertation, 2016
Anmerkung
Zusammenfassung in deutscher Sprache
Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)Kontraktion / Desingularisierung / Gröbnerbasis / D-finites System / scheinbare Singularitäten
Schlagwörter (EN)contraction / desingularization / Gröbner basis / D-finite system / apparent singularities
Schlagwörter (GND)Idealtheorie / Kontraktion <Mathematik> / Auflösung von Singularitäten / Gröbner-Basis / Gewöhnlicher Differentialoperator
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-13515 Persistent Identifier (URN)
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 Das Werk ist gemäß den "Hinweisen für BenützerInnen" verfügbar
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Univariate contraction and multivariate desingularization of Ore ideals [0.51 mb]
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Klassifikation
Zusammenfassung (Deutsch)

Gewöhnliche Lineare Differential- (und Differenzen-) Operatoren mit polynomiellen Koeffizienten sind eine bekannte algebraische Abstraktion zur Darstellung von D-finiten Funktionen (bzw.\ P-finiten Folgen). Sie bilden den Ore-Ring $\bK(x)[\pa]$, wobei $\bK$ der Konstantenkörper ist. Es sei angenommen, dass $\bK$ der Quotientenkörper eines Hauptidealrings$R$ ist. Der Ring $R[x][\pa]$ besteht aus den Elementen von $\bK(x)[\pa]$ ``ohne Nenner''. Ein gegebenes $L\in\bK(x)[\pa]$ erzeugt ein Linksideal $I$ in $\bK(x)[\pa]$. Wir nennen $I\cap R[x][\pa]$ die univariate Kontraktion des Ore-Ideals$I$. Kontraktionsalgorithmus für$L$. Wenn $L$ ein gewöhnlicher linearer Differential- oder Differenzenoperator ist, entwickeln wir einen Kontraktionsalgorithmus für$L$, indem wir desingularisierte Operatoren verwenden, wie sie von Chen, Jaroschek, Kauers und Singer vorgeschlagen wurden. Wenn $L$ ein gewöhnlicher Differentialoperator ist und $R=\bK$, dann ist unser Algorithmus elementarer als bekannte Algorithmen. In anderen Flällen sind unsere Resultate neu. Wir schlagen den Begriff des vollständig desingularisierten Operators vor, untersuchen ihre Eigenschaften, und entwickeln einen Algorithmus zu deren Berechnung. Vollständig desingularisierte Operatoren haben interessante Anwendungen wie die Zertifizierung ganzzahliger Folgen und dieÜberprüfung von Spezialfällen einer Vermutung von Krattenthaler. Ein D-finites System ist eine endliche Menge von homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen mit polynomiellen Koeffizienten in mehreren Variablen, deren Lösungsraum endliche Dimension hat. Für solche Systeme definieren wir den Begriff der Singularität anhand der in ihnen auftretenden Polynome. Wir zeigen, dass ein Punkt eine Singularität eines Systems ist, wenn es nicht eine Basis von Potenzreihenlösungen hat, deren Startterme bezüglich einer Termordnung kleinstmöglich sind. Als nächstes ist eine Singularität scheinbar, wenn das System eine volle Basis von Potenzreihenlösungen hat, deren Startterme nicht kleinstmöglich sind. Wir zeigen dann, dass scheinbare Singularitäten im multivariaten Fall genauso wie im univariaten Fall durch Hinzufügen geeigneter neuer Lösungen zum vorliegenden System entfernt werden können.

Zusammenfassung (Englisch)

Linear ordinary differential(difference) operators with polynomial coefficients form a common algebraic abstraction for representing D-finite functions(P-recursive sequences). They form the Ore ring $\bK(x)[\pa]$, where$\bK$ĩs the constant field. Suppose$\bK$ is the quotient field of some principal ideal domain$R$. The ring$R[x][\pa]$ consists of elements in$\bK(x)[\pa]$ without ``denominator". Given$L \in \bK(x)[\pa]$, it generates a left ideal$I$ in$\bK(x)[\pa]$. We call$I \cap R[x][\pa]$ the univariate contraction of the Ore ideal$I$. % An algorithm for computing the contraction ideal is called a contraction algorithm for$L$. When$L$ is a linear ordinary differential or difference operator, we design a contraction algorithm for$L$ by using desingularized operators as proposed by Chen, Jaroschek, Kauers and Singer. When$L$ is an ordinary differential operator and$R =\bK$, our algorithm is more elementary than known algorithms. In other cases, our results are new. We propose the notion of completely desingularized operators, study their properties, and design an algorithm for computing them. Completely desingularized operators have interesting applications such as certifying integer sequences and checking special cases of a conjecture of Krattenthaler. A D-finite system is a finite set of linear homogeneous partial differential equations with polynomial coefficients in several variables, whose solution space is of finite dimension. For such systems, we define the notion of a singularity in terms of the polynomials appearing in them. We show that a point is a singularity of the system unless it admits a basis of power series solutions in which the starting monomials are as small as possible with respect to some term order. Then a singularity is apparent if the system admits a full basis of power series solutions, the starting terms of which are not as small as possible. We then prove that apparent singularities in the multivariate case can be removed like in the univariate case by adding suitable additional solutions to the system at hand.