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Titelaufnahme

Titel
Sensitivity-based topology and shape optimization with application to electrical machines / eingereicht von Dipl.-Ing. Peter Gangl, Bakk. Techn.
Weitere Titel
Sensitivitäts-basierte Topologie- und Formoptimierung mit Anwendung auf elektrische Maschinen
VerfasserGangl, Peter
Begutachter / BegutachterinLanger, Ulrich ; Tröltzsch, Fredi
ErschienenLinz, Dezember 2016
Umfangx, 220 Seiten : Illustrationen
HochschulschriftUniversität Linz, Univ., Dissertation, 2016
Anmerkung
Zusammenfassung in deutscher Sprache
Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)Topologieoptimierung / Formoptimierung / Interface Finite Elemente Methoden / elektrische Maschinen / topologische Ableitung / Formableitung
Schlagwörter (EN)topology optimization / shape optimization / interface finite element method / electrical machines / topological derivative / shape derivative
Schlagwörter (GND)Topologieoptimierung / Gestaltoptimierung / Finite-Elemente-Methode / Elektrische Maschine
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-13539 Persistent Identifier (URN)
Zugriffsbeschränkung
 Das Werk ist gemäß den "Hinweisen für BenützerInnen" verfügbar
Dateien
Sensitivity-based topology and shape optimization with application to electrical machines [11.18 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Diese Arbeit behandelt Methoden der Topologie- und Formoptimierung zur Bestimmung von optimalen Geometrien in Anwendungen aus der Elektrotechnik. Als ein Modellproblem betrachten wir die Optimierung der Geometrie eines Elektromotors. Das Verhalten des Motors wird bestimmt von den elektromagnetischen Feldern im Inneren des Motors, welche wiederum, über die Lösung der Maxwell-Gleichungen, auch von der Geometrie des Motors abhängen. Wir verwenden einen Spezialfall der Maxwell-Gleichungen, nämlich die partielle Differentialgleichung der nichtlinearen Magnetostatik. Desweiteren betrachten wir ein zweidimensionales Modell des Elektromotors. Das Optimierungsproblem besteht also darin, die Geometrie eines gewissen Teils eines Elektromotors zu identifizieren, welche unter der Nebenbedingung einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung das bestmögliche Verhalten des Motors zur Folge hat. Ein wichtiges Werkzeug zur Behandlung von Formoptimierungs-Problemen ist die Formableitung, also die Sensitivität eines Funktionals, das von der Form eines Gebietes abhängt, bezüglich einer glatten Variation des Randes dieses Gebietes. Wir berechnen die Formableitung für das beschriebene Formoptimierungs-Problem, welches eine nichtlineare partielle Differentialgleichung beinhaltet, mittels eines Lagrange'schen Zuganges und verwenden die Formableitung um eine verbesserte Geometrie des Elektromotors zu erhalten. Ein Nachteil der Klasse der Formoptimierungs-Verfahren ist, dass diese nur den Rand eines Gebietes variieren können, nicht aber seine Topologie. Es können also keine Löcher oder neuen Komponenten eingeführt werden. Mittels Verfahren der Topologieoptimierung kann auch die Anzahl der zusammenhängenden Komponenten eines Gebietes im Laufe des Optimierungsverfahrens verändert werden. In dieser Arbeit behandeln wir Zugänge zur Topologieoptimierung, die auf topologischen Sensitivitäten beruhen. Einerseits betrachten wir die Sensitivität des Zielfunktionals bezüglich einer lokalen Variation des Materials. Andererseits berechnen wir rigoros die topologische Ableitung, also die Sensitivität eines Funktionals, welches von einem Gebiet abhängt, bezüglich der Einführung eines Loches im Inneren des Gebietes. Aufgrund der Nebenbedingung in Form einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung ist letzterer Zugang besonders aufwändig. Die Information aus diesen Sensitivitäten kann verwendet werden, um optimale Geometrien zu erhalten, deren Topologie von jener des ursprünglichen Designs abweicht. In beiden Klassen von Verfahren gehen wir von einer Anfangsgeometrie aus, welche aus verschiedenen Materialien besteht, und bewegen die Interfaces zwischen den verschiedenen Materialien in eine Richtung, die mithilfe der Sensitivitäten des Funktionals bezüglich der Form oder Topologie des Gebietes bestimmt wird. Um diese Sensitivitäten berechnen zu können, müssen jedoch zwei partielle Differentialgleichungen gelöst werden (die Zustandsgleichung und die adjungierte Gleichung des Optimierungsproblems), was wir näherungsweise mittels des Verfahrens der Finiten Elemente auf einem Dreiecksgitter bewerkstelligen. Um möglichst genaue Nähreungslösungen dieser Gleichungen zu erhalten, sollte das Interface immer durch die Diskretisierung aufgelöst werden. Zu diesem Zweck führen wir eine lokale Gitter-Anpassungs-Strategie ein, welche das Gitter nur in einer Umgebung des Interfaces modifiziert, und zeigen optimale Konvergenzordnungen bei immer feiner werdendem Gitter. Schließlich kombinieren wir diese drei Komponenten und wenden sie auf das Problem der Optimierung von Elektromotoren an. In einem ersten Schritt wenden wir ein Topologieoptimierungs-Verfahren an, um die optimale Topologie des Gebietes zu finden. In einem zweiten Schritt verwenden wir Formoptimierung gemeinsam mit der Modifizierung des Gitters zur Nachbearbeitung, um glattere Geometrien zu erhalten.

Zusammenfassung (Englisch)

This thesis deals with topology and shape optimization methods for finding optimal geometries of devices from electrical engineering. As a model problem, we consider the design optimization of an electric motor. Here, the performance of the motor depends on the electromagnetic fields in its interior, which, among other factors, also depend on the geometry of the motor via the solution to Maxwell's equations. In our model, we use a special regime of Maxwell's equations, namely the partial differential equation (PDE) of nonlinear magnetostatics, and consider a two-dimensional setting of the electric motor. Thus, we are facing a PDE-constrained optimization problem where the unknown is the geometry of a given part of the motor. An important tool for solving shape optimization problems is the shape derivative, i.e., the sensitivity of the domain-dependent objective function with respect to a smooth variation of a boundary or material interface. We derive the shape derivative for the optimization problem at hand, which involves a nonlinear PDE constraint, by means of a Lagrangian approach. We employ the shape derivative to obtain an improved design of the electric motor. One shortcoming of the class of shape optimization methods is that they can only vary boundaries or interfaces of given designs and cannot alter their topology, i.e., they cannot introduce holes or new components. Using topology optimization methods, also the connectivity of a domain can change during the optimization procedure. In this thesis, we focus on topology optimization approaches based on topological sensitivities. On the one hand, we consider the sensitivities of the objective function with respect to a local variation of the material. On the other hand we rigorously derive the topological derivative, i.e., the sensitivity of a domain-dependent objective function with respect to the introduction of a hole in the interior of the domain. The latter approach is particularly involved in this case due to the nonlinear PDE constraint. The information provided by these sensitivities can be used for determining optimal designs whose topology may be different from the topology of the initial design. In both classes of methods, we start with an initial geometry consisting of several materials and successively update the material interfaces in the course of the optimization procedure. The update is based on topological or shape sensitivities, which depend on the solutions to two PDEs (the state equation and the adjoint equation of the optimization problem). These PDEs are approximately solved by means of the finite element method on a triangular grid in each iteration. In order to obtain accurate solutions to these PDEs, the evolving interface should be resolved by the finite element discretization. We introduce a local mesh adaptation strategy which modifies the mesh only in a neighborhood of the interface and show optimal order of convergence as the mesh size approaches zero. Finally, we combine the three components mentioned above and apply it to the optimization of electric motors. In a first step, we perform topology optimization in order to find the optimal connectivity of the design. In a second step, we use shape optimization together with the proposed mesh adaptation strategy as a post-processing in order to get smoother designs.