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Bibliographic Metadata

Title
Adaptive Mesh Refinement for Multiple Goal Functionals / submitted by Endtmayer Bernhard
AuthorEndtmayer, Bernhard
CensorLanger, Ulrich
PublishedLinz, 2017
Descriptionv, 84 Seiten : Illustrationen
Institutional NoteUniversität Linz, Masterarbeit, 2017
LanguageEnglish
Document typeMaster Thesis
Keywords (DE)Finite Elemente Methode / Gitterverfeinerung / dual gewichtetes Residuum / Zerlegung der Eins / Mehrzielfunctionale / dual-duales Problem
Keywords (EN)finite element method / mesh adaptivity / dual-weighted residual / partition-of-unity / multi-objective goal functionals / adjoint to the adjoint problem /dual-dual problem
Keywords (GND)Partielle Differentialgleichung / Zielfunktion / Residuum / Finite-Elemente-Methode / Gitterverfeinerung
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-14397 Persistent Identifier (URN)
Restriction-Information
 The work is publicly available
Files
Adaptive Mesh Refinement for Multiple Goal Functionals [10.1 mb]
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Abstract (English)

In practical applications, one is often not interested in the entire solution of a partial differential equation, but in a special quantity of interest, which depends on the solution. Since in general, we cannot find the solution of the partial differential equation exactly and we have to construct a numerical approximation. This leads to an inaccuracy in the quantity of interest as well. Now one could think about just trying to increase the accuracy in our quantity of interest and not in the entire solution. This can be achieved by applying adaptive mesh refinement with respect to the quantity of interest. One possibility of such a technique is the dual weighted residual method based on an error estimator with a variational localization via a partition of unity. Therein, local cell residuals are weighted by a localized adjoint solution. However, there can be more than one quantity of interest. In this thesis, we will discuss how the dual weighted residual method can be applied to several goal functionals at once. We will investigate algorithmic techniques to formulate and solve such a multiple goal functionals problem. A naive approach would be solve to each goal functional one adjoint problem, which is computationally costly. Rather, we adopt a dual-dual problem, which yields an adjoint state by just two additional solves. The key result of this thesis is a new procedure to solve the dual-dual problem. In the numerical examples, we show how the different quantities of interest affect each other, and in which situations our new method leads to an improvement in comparison with global refinement.

Abstract (German)

In der praktischen Anwendung von partiellen Differentialgleichungen ist man oft nicht an der Lösung selbst interessiert, sondern nur an einem bestimmten Wert (eines sogenannten Zielfunktionals), der von der Lösung abhangt. Da im Allgemeinen partielle Differentialgleichungen nicht analytisch lösbar sind, können wir die Lösung nur mit einer Naherungslösung approximieren. Diese Ungenauigkeit liefert auch einen Fehler im gesuchten Wert des Zielfunktionals. Man könnte nun versuchen nur die Fehler in dem Zielfunktional zu reduzieren und nicht den Fehler in der Lösung selbst. Eine Möglichkeit, dies zu realisieren, ist die ziel-orientierte a posteriori Fehlerschatzung mit dual gewichteten Residuen, wobei eine variationelle Lokalisierung durch eine Zerlegung der Eins realisiert wird. In vielen Anwendungen sind jedoch mehrere Zielfunktionale von Interesse. In dieser Arbeit wird beschrieben wie die ziel-orientierte a posteriori Fehlerschatzung mit dual gewichteten Residuen auf mehrere Zielfunktionale gleichzeitig angewendet werden kann. Natürlich kann man den Fehlerschatzer für jeden dieser Werte gesondert berechnen und diese spater addieren. Dies resultiert jedoch in einem sehr hohen Rechenaufwand, da wir für jeden Wert ein adjungiertes Problem lösen müssen. Um dies zu vermeiden, wird stattdessen ein dual-duales Problem gelöst. Hier muss immer nur doppelt so oft gelöst werden, als für einen Wert. Das Hauptresultat dieser Arbeit besteht in der Konstruktion und Analyse eines verbesserten Algorithmus zur Lösung des dual-dualen Problems. In unseren Ergebnissen versuchen wir herauszufinden wie die Werte einander beeinflussen und auch wann diese Methode einen Vorteil gegenüber globaler Verfeinerung liefert.

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