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Titelaufnahme

Titel
Nonlinear PDE models for crowded transport in the life and social sciences / submitted by Helene Ranetbauer
Weitere Titel
Nichtlineare partielle Differentialgleichungsmodelle dichtgedrängter Transportprozesse des Lebens und der Sozialwissenschaften
VerfasserRanetbauer, Helene
Begutachter / BegutachterinWolfram, Marie-Therese ; Jüngel, Ansgar
ErschienenLinz, February 2017
Umfang132 Seiten : Illustrationen
HochschulschriftUniversität Linz, Univ., Dissertation, 2017
Anmerkung
Zusammenfassung in deutscher Sprache
In Zusammenarbeit mit dem Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM)
Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)nichtlineare partielle Differentialgleichungen / Kreuz-Diffusionsmodelle / Gradientenflussstruktur / Existenzresultate / Stabilität von Lösungen / numerische Simulationen
Schlagwörter (EN)nonlinear partial differential equations / cross-diffusion models / gradient flow structure / existence results / stability of solutions / numerical simulations
Schlagwörter (GND)Nichtlineare partielle Differentialgleichung / Diffusionsmodell / Gradientenfluss / Lösung <Mathematik> / Simulation
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-14683 Persistent Identifier (URN)
Zugriffsbeschränkung
 Das Werk ist gemäß den "Hinweisen für BenützerInnen" verfügbar
Dateien
Nonlinear PDE models for crowded transport in the life and social sciences [7.59 mb]
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Nachweis
Klassifikation
Zusammenfassung (Englisch)

Various processes in physics, biology or chemistry can be described by nonlinear partial differential equations and systems thereof. In this thesis, we deal with different types of models for crowded transport in the life and social sciences. In the beginning, we formally derive a nonlinear convection-diffusion model describing the evolution of intersecting pedestrian flows. Depending on the geometry of the domain and the direction of motion of the respective groups, we observe the formation of complex patterns like directional lanes or diagonal stripes. The corresponding system of partial differential equations can be interpreted as a (perturbed) gradient flow and existence as well as stability results are discussed. Next, we discuss the analysis of a cross-diffusion system of partial differential equations for a mixture of particles. While the system has a gradient flow structure in the symmetric case of all particles having the same size and diffusivity, this is not valid in general. We discuss local stability and global existence for the symmetric case using gradient flow structure and entropy variable techniques. For the general case, we introduce the concept of an asymptotic gradient flow structure and show how it can be used to study the behavior close to equilibrium. Finally we present a numerical scheme for nonlinear continuity equations, which is based on a variational formulation as a gradient flow of an energy functional with respect to the Wasserstein distance. This scheme can be applied to a large class of nonlinear continuity equations and inherent features include positivity, energy decrease and mesh adaptation in the case of blow up densities or compactly supported solutions. We present various numerical illustrations showing the flexibility of the scheme.

Zusammenfassung (Deutsch)

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Analysis und Simulation verschiedener partieller Differentialgleichungsmodelle, welche unterschiedliche Transportprozesse in der Physik, Biologie als auch der Sozialwissenschaften beschreiben. In der ersten Anwendung analysieren wir ein nichtlineares Konvektions-Diffusions-Modell, welches das Verhalten aufeinandertreffender Fußgänger beschreibt. Abhängig von Faktoren wie der Bewegungsrichtung oder dem Ausweichverhalten, können wir unterschiedliche Muster beim Aufeinandertreffen zweier Gruppen beobachten. Beispiele dafür sind das Entstehen von Richtungsfahrbahnen im Fall entgegengesetzter Gehrichtungen oder Diagonalstreifen in Kreuzungsbereichen. Wir analysieren die entsprechenden partiellen Differentialgleichungssysteme und beweisen Existenz- und Stabilitätsresultate, welche auf der Interpretation der Systeme als (gestörte) Gradientenflussstruktur basieren. Anschließend analysieren wir ein Transportmodell für interagierende Teilchen. Dieses Kreuz-Diffusionssystem besitzt nur in einigen speziellen Fällen eine Gradientenflussstruktur, in denen mit Hilfe der Eigenschaften des dazugehörigen Entropiefunktionals lokale Stabilität und globale Existenz gezeigt werden können. Im allgemeinen Fall führen wir das Konzept einer asymptotischen Gradientenflussstruktur ein, welches uns ermöglicht das Verhalten nahe eines Equilibriums zu untersuchen. Abschließend präsentieren wir ein numerisches Lösungsverfahren für nichtlineare Kontinuitätsgleichungen. Ein essentieller Bestandteil der Konstruktion des Verfahrens ist dem System inherente Gradientenflussstruktur bezüglich der Wassersteindistanz. Zu den Eigenschaften dieses Lösungsverfahrens zählen die Positivität, das Fallen des Entropiefunktionals als auch die automatische Gitterpunktadaptierung im Fall explodierender Dichten oder kompakt getragener Lösungen. Die Flexibilität des Verfahrens wird durch zahlreiche numerische Simulationen illustriert.