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Titelaufnahme

Titel
Nonstandard discretization strategies in isogeometric analysis for partial differential equations / eingereicht von Dipl.-Ing. Stephen Edward Moore, MSc.
Weitere Titel
Nichtstandardisierte Diskretisierungsstrategien in der Isogeometric Analysis für partielle Differentialgleichungen
VerfasserMoore, Stephen Edward
Begutachter / BegutachterinLanger, Ulrich ; Simeon, Bernd
GutachterLanger, Ulrich
ErschienenLinz, January 2017
Umfangvii, 187 Seiten : Illustrationen
HochschulschriftUniversität Linz, Dissertation, 2017
Anmerkung
Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers
Zusammenfassung in deutscher Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)PDEs auf Oberflächen
Schlagwörter (EN)isogeometric analysis / discontinuous Galerkin / space-time methods / surface PDEs / mesh grading / NURBS / B-Spline
Schlagwörter (GND)Partielle Differentialgleichung / Isogeometrische Analyse / Diskretisierungsverfahren / NURBS / Galerkin-Methode
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-15264 Persistent Identifier (URN)
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Nonstandard discretization strategies in isogeometric analysis for partial differential equations [4.71 mb]
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Klassifikation
Zusammenfassung (Englisch)

Isogeometric Analysis (IgA), based on B-spline and Non-Uniform Rational B-Spline (NURBS), is a numerical method proposed in 2005 by Thomas Hughes, John Cottrell and Yuri Bazilevs to approximate solutions of partial differential equations (PDEs). IgA uses the same class of basis functions for both representing the geometry of the computational domain and approximating the solution of problems modeled by PDEs. NURBS basis functions are the main underlying tools in most industrial and engineering design processes. The special properties associated with NURBS including the ease of constructing basis functions with higher smoothness and special refinement strategies makes them a very suitable choice in many real life applications.

In many engineering or practical applications, the computational domains cannot be represented by a single NURBS geometry mapping, and thus must be decomposed into several subdomains. These subdomains are referred to as patches in IgA. In this regards, we developed a multipatch discontinuous Galerkin Isogeometric Analysis (dG-IgA) of PDEs given in volumetric computational domains as well as on closed and open surfaces. We present the numerical analysis of the dG-IgA schemes proposed, and show a priori error estimates for geometrically matching subdomains with hanging nodes on the interface, i.e., non-matching meshes are allowed.

Many realistic applications involve complex domains with non-smooth boundary parts, changing boundary conditions, non-smooth coefficients arising from material interfaces etc. It is well known that standard numerical schemes on uniform meshes do not yield optimal convergence rate. This is due to the reduced regularity of the solution in the vicinity where the singularities occur. We therefore develop and analyze a graded mesh technology in isogeometric analysis which leads to the desired and expected optimal convergence rate. The IgA mesh grading uses a priori information of the behavior of the solution around the points, where the singularity occurs, and create an appropriate mesh sequence yielding the same convergence rate as in the smooth case.

Finally, we consider linear parabolic initial-boundary value problems. There are several well-known classical time-stepping schemes for solving parabolic evolution problems like implicit and explicit Runge-Kutta methods. In this thesis, we present a space-time IgA of parabolic evolution problems as an alternative approach to the numerical solution of time-dependent PDE problems. By using time-upwind test functions, we derive a stable space-time IgA and space-time dG-IgA scheme that combines very well with parallel solvers. We consider both fixed and moving spatial computational domains. A priori error estimates with respect to some discrete energy norm are presented. Our numerical experiments confirm these theoretical results.

Zusammenfassung (Deutsch)

Isogeometric Analysis (IgA) ist eine im Jahr 2005 von Thomas Hughes, John Cottrell und Yuri Bazilevs entwickelte numerische Methode zur Approximation von Lösungen Partieller Differentialgleichungen (PDEs) mittels B-splines oder Non-Uniform Rational B-splines (NURBS). In der IgA wird für die Darstellung der Geometrieabbildung einerseits und für die Repräsentation der Lösungsfunktion im Parametergebiet andererseits die selbe Klasse von Funktionen verwendet. In der überwiegenden Zahl von industriellen und technischen Anwendungen erfolgt das geometrische Design auf der Grundlage von NURBS Basisfunktionen. Die besonderen Eigenschaften der NURBS Basisfunktionen, insbesondere die einfache Konstruktion auch für Fälle hoher Glattheit und der vielfältigen Möglichkeiten der Gitterverfeinerung, machen sie zu einer ausgezeichneten Wahl in vielen Anwendungen.

In vielen technischen Problemstellungen können die geometrischen Objekte, in denen die PDE gelöst werden soll, nicht durch eine einzige NURBS Geometrieabbildung dargestellt werden. Oftmals besteht das Objekt aus mehreren Teilobjekten, in IgA patches genannt, für die dies möglich ist. Dieser Idee folgend, haben wir einen discontinuous Galerkin Isogeometric Analysis (dG-IgA) Ansatz für PDEs, in voluminösen Gebieten wie auch für PDEs auf offenen oder abgeschlossenen Oberflächen eines geometrischen Objekts entwickelt. Wir präsentieren numerische Studien für dG-IgA und zeigen au\ss Materialien) ein. Es ist bekannt, dass einfache Lösungsmethoden auf uniformen Gittern keine optimale Konvergenzrate zeigen, was an der reduzierten Regularität der Lösung in der Nähe der Singularität liegt. Daher entwickeln und analysieren wir einen graded mesh Algorithmus für IgA, welcher dann die erwartete optimale Konvergenzeigenschaften zeigt. Der IgA mesh grading Ansatz setzt a priori Informationen über das Verhalten der Lösung in der Nähe der Singularität voraus, liefert aber dann eine Folge von Gittern, auf denen die selben Konvergenzraten wie für den glatten Fall mit der selben Anzahl an Unbekannten, erzielt werden.

Zum Abschluss betrachten wir lineare parabolische Anfangswertprobleme. Für solche Probleme gibt es einige wohlbekannt Zeitschrittverfahren, wie zum Beispiel implizite und explizite Runge-Kutta Methoden. In dieser Arbeit gehen wir einen anderen Weg und präsentieren einen space-time Ansatz für parabolische Evolutionsprobleme und damit einen alternativen Ansatz für die numerische Lösung zeitabhängiger Probleme. Mittels time-upwind Testfunktionen konstruieren wir stabile space-time IgA und space-time dG-IgA Methoden, die sich darüberhinaus sehr gut parallelisieren lassen. Wir betrachten sowohl fixe, als auch sich bewegende räumliche Gebiete. A priori Fehlerabschätzungen werden für bestimmte diskrete Energienormen hergeleitet. Unsere numerischen Experimente bestätigen die theoretisch erzielten Resultate eindrucksvoll.