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Titelaufnahme

Titel
Numerical methods for stochastic partial differential equations: Analysis of stability and efficiency / eingereicht von DI Thalhammer Andreas
Weitere Titel
Numerische Methoden für stochastische partielle Differentialgleichungen: Stabilitäts- und Effizienzanalyse
VerfasserThalhammer, Andreas
Begutachter / BegutachterinBuckwar, Evelyn ; Lord, Gabriel
GutachterBuckwar, Evelyn
ErschienenLinz, 2017
Umfangxii, 152 Seiten : Illustrationen
HochschulschriftUniversität Linz, Dissertation, 2017
Anmerkung
Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers
In Zusammenarbeit mit dem Institut für Stochastik
SpracheEnglisch
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)stochastische Differentialgleichungen / numerische Analysis / stochastische Analysis / Stabilitätstheorie / Monte Carlo Methoden
Schlagwörter (EN)stochastic differential equations / numerical analysis / stochastic analysis / stability theory / Monte Carlo methods
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-17468 Persistent Identifier (URN)
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 Das Werk ist gemäß den "Hinweisen für BenützerInnen" verfügbar
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Numerical methods for stochastic partial differential equations: Analysis of stability and efficiency [1.91 mb]
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Klassifikation
Zusammenfassung (Englisch)

This cumulative thesis contains several contributions to the numerical analysis of stochastic partial differential equations. The main focus lies on investigating and improving numerical methods with respect to the qualitative properties stability and efficiency. Here the term stability of a numerical method denotes a measure for the approximation quality of the considered numerical method based on fixed refinement parameters in space and time or on a finite number of independent realisations for Monte Carlo estimators. In contrast, the efficiency of a numerical method for approximating the solution process of SPDEs measures the computational work needed to obtain a certain accuracy. Besides the separate discussion of these two qualitative properties, the emphasis is laid on investigating their interplay and their practical relevance for numerical experiments. This thesis consists of an introductory essay followed by 4 chapters based on 4 scientific articles. The purpose of the introduction is to provide an overview of relevant results on SPDEs and their approximations as well as discussing the existing literature on stability theory and efficiency investigations of numerical methods for stochastic differential equations. In Chapter 2 we investigate the performance of Monte Carlo methods for linear stochastic differential equations with an asymptotically almost surely stable, but mean-square unstable equilibrium solution. It is illustrated that under this specific stability setting standard Monte Carlo estimators fail to reproduce the qualitative behaviour of the second (or higher) moment(s) of the solution process. As a remedy an importance sampling technique focusing on the simulation of rarely occurring realisations of the solution process is proposed and numerically tested.

In Chapter 3 we develop importance sampling techniques for SPDEs based on an infinite-dimensional version of the well-known Girsanov transformation. An optimality result that provides the existence of a measure transformation, for which the Monte Carlo error vanishes completely, is used as guidance for constructing measure transformations that can be easily implemented. In Chapter 4 a structural mean-square stability theory for approximations of SPDEs is developed. For this we extend well-known mean-square stability results for approximations of finite-dimensional SDEs to an abstract tensor product-space setting and we derive necessary and sufficient conditions for the asymptotic mean-square stability of the zero solution of approximations of linear SPDEs. For a comparative study of numerical methods we investigate various combinations of rational approximations (of the semigroup) with either Maruyama or Milstein time integration schemes. Furthermore, results connecting the stability properties of the zero solution of the SPDE and of its numerical approximations are derived. In Chapter 5 we combine space-time multigrid techniques for deterministic partial differential equations with multilevel Monte Carlo methods for stochastic differential equations with additive noise. This coupling provides a new class of algorithms that are fully parallelisable, i.e., they can be computed in parallel with respect to space, time and probability. Extensive numerical experiments in Chapters 2-5 illustrate the theoretical results.

Zusammenfassung (Deutsch)

Diese kumulative Dissertation beinhaltet mehrere Beiträge zur numerischen Analysis von stochastischen partiellen Differentialgleichungen (im Folgenden als SPDEs abgekürzt). Der Hauptfokus richtet sich auf das Untersuchen und das Verbessern von numerischen Methoden für SPDEs bezüglich deren Stabilität und Effizienz. Wir bezeichnen hier unter Stabilität ein Maß für die Approximationsgüte eines numerischen Verfahrens unter Berücksichtigung endlicher Diskretisierungsparameter oder im Falle von Monte Carlo Methoden von Simulationen, die auf einer endlichen Anzahl an unabhängigen Realisierungen von den betrachteten Zufallsvariablen basieren. Unter Effizienz hingegen verstehen wir ein Maß für den zu leistenden Rechenaufwand, um eine bestimmte Genauigkeit zu erzielen. Neben der gesonderten Betrachtung dieser beiden qualitativen Eigenschaften liegt der Schwerpunkt der Arbeit auf dem Zusammenspiel und der praktischen Relevanz der untersuchten Eigenschaften für numerische Experimente. Diese Dissertation besteht aus einem einleitenden Kapitel gefolgt von 4 weiteren Kapiteln, die auf 4 wissenschaftlichen Arbeiten basieren. Das Ziel der Einleitung ist es eine Übersicht über relevante Resultate sowohl für SPDEs und deren Approximationen als auch für die Stabilitätstheorie und für Effizienzuntersuchungen von numerischen Verfahren zu geben. Wir untersuchen im Kapitel 2 die Performance von Monte Carlo Methoden für lineare, stochastische Differentialgleichungen, deren Nulllösung asymptotisch fast sicher stabil ist, aber instabil im Quadratmittel. Es wird gezeigt, dass in dieser speziellen Stabilitätskonfiguration Monte Carlo Schätzer das zweite (oder höhere) Moment(e) nur unzureichend approximieren können. Als Lösung entwickeln wir eine Importance Sampling Methode, mit der selten vorkommende Realisierungen des Lösungsprozesses simuliert werden können.

Im Kapitel 3 entwickeln wir Importance Sampling Methoden für SPDEs, die auf einer unendlich-dimensionalen Version des bekannten Girsanov Theorems beruhen. Ein Optimalitätsresultat, welches die Existenz einer Maßtransformation beweist, für die der Monte Carlo Fehler vollständig verschwindet, dient dabei als Konstruktionsanleitung für Maßtransformationen, die einfach implementiert werden können. Im Kapitel 4 wird eine strukturelle Methode zur Untersuchung von Quadratmittel-Stabilität für Approximationen von SPDEs entwickelt. Um dies zu erreichen werden bekannte endlichdimensionale Resultate in einer abstrakten Tensor-Produktformulierung erweitert. Im Zuge einer vergleichenden Studie von numerischen Verfahren untersuchen wir Methoden, die auf verschiedenen Kombinationen von rationalen Approximationen mit Maruyama- oder Milstein-Verfahren beruhen. Weiters werden Resultate, die die Stabilitätseigenschaften der Nulllösung der SPDE selbst und von deren Approximationen beschreiben, daraus abgeleitet. Im Kapitel 5 kombinieren wir Mehrgitter-Verfahren in Raum und Zeit für deterministische partielle Differentialgleichungen mit Multilevel Monte Carlo-Verfahren für stochastische Differentialgleichungen mit additivem Rauschen. Diese Kopplung liefert einen neuen, bezüglich Raum, Zeit und Wahrscheinlichkeit vollständig parallelisierbaren Algorithmus. Ausführliche numerische Experimente veranschaulichen in den Kapiteln 2-5 die theoretischen Resultate.