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Titelaufnahme

Titel
Equivalence detection of rational curves and surfaces / submitted by Michael Hauer
AutorInnenHauer, Michael
Beurteiler / BeurteilerinJüttler, Bert ; Gonzalez Vega, Laureano
ErschienenLinz, 2018
Umfangviii, 98 Seiten : Illustrationen
HochschulschriftUniversität Linz, Dissertation, 2018
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (GND)Parametrisierung / Monomiale Darstellung / Ganzrationale Funktion / Rationale Kurve / Oberfläche / Äquivalenz
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-20179 Persistent Identifier (URN)
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Equivalence detection of rational curves and surfaces [1.78 mb]
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Klassifikation
Zusammenfassung (Englisch)

Rational parameterizations of curves and surfaces are frequently used in Computer Aided Geometric Design (CAGD) and Algebraic Geometry, where the most common representations are based on the power basis and the Bernstein-Bézier basis. We can concentrate on one of them, since these two representations are closely related by a projective transformation of the parameter domain. By considering rational parameterizations in projective space one can avoid the use of rational functions and work with polynomials instead. The problem of detecting symmetries and equivalences of curves and surfaces attracted substantial attention since it is an essential problem in Pattern Recognition, Computer Graphics and Computer Vision. Knowledge about symmetries helps analyzing pictures and is used for compression and shape completion. Equivalence detection is used to identify a given object with objects in a database. We note here, that the detection of symmetries is a special case of equivalence detection.

It is known, that proper parameterizations of rational curves in reduced form are unique up to bilinear reparameterizations, i.e., projective transformations of the parameter domain. This observation has been used in a series of papers by Alcázar et al. to formulate algorithms for detecting Euclidean equivalences as well as similarities (which include also some scaling) for rational planar and space curves. In this work we generalize this approach in several directions.

In a first step we consider projective and affine equivalences of curves in arbitrary dimensions. Equivalences with respect to the group of projective transformations are the most general of those ones mentioned above and we can treat Euclidean equivalences, similarities and affine equivalences as special cases. Moreover, the freedom of considering arbitrary dimensions is an advantage of our approach. As a second step we state, that for proper, base point free rational surfaces a similar property can be shown, i.e., these representations are unique up to a projective transformation of the parameter domain, which we identify with the projective plane. Furthermore, again we use this insight to detect projective equivalences of surfaces in arbitrary dimension.

We use these observations about rational curves and surfaces to characterize equivalences and symmetries by a polynomial system of equations in the variables describing the linear rational reparameterization. We solve this system using the Gröbner basis implementation of Maple, which is one of the standard computer algebra systems. We provide a substantial number of examples to illustrate our method. Among other results, this allows us to verify known results about the classifications of quadratically parameterized surfaces in a simple way.

Zusammenfassung (Deutsch)

Rationale Parametrisierungen, vor allem in einer Darstellung bezüglich der Monom- oder der Bernstein-Bézier-Basis, werden in vielen mathematischen Gebieten, wie zum Beispiel in Computer Aided Geometric Design (CAGD) oder in der algebraischen Geometrie, zur Beschreibung von Kurven und Flächen verwendet. Da diese zwei Darstellungsformen mittels einer projektiven Transformation des Parameterbereichs, welche einer linearen rational Umparametrisierung entspricht, und einer einfachen Skalierung ineinander überführt werden können, werden wir uns auf die Monomdarstellung konzentrieren. Indem wir die rationalen Parametrisierungen in homogenen Koordinaten betrachten, ist es uns möglich mit polynomialen anstelle von rationalen Funktionen zu arbeiten. Die Erkennung von Symmetrien und Äquivalenzen von Kurven weckte nicht zuletzt durch vielfältige Anwendungsbereiche in Pattern Recognition, Computer Graphics und Computer Vision großes Interesse. Das Wissen über Symmetrien von Objekten hilft dabei Bilder zu analysieren, den Speicherbedarf zu verringern sowie fehlende bzw. verlorene Informationen zu vervollständigen. Die Erkennung von Äquivalenzen bietet die Möglichkeit beliebige Objekte mit bekannten Objekten in einer Datenbank zu vergleichen und zu identifizieren. Die Symmetrieerkennung kann als Sonderfall der Äquivalenzerkennung angesehen werden.

Bekannterweise sind propere Parametrisierungen rationaler Kurven eindeutig bis auf lineare rationale Umparametrisierungen. Diese Beobachtung wurde von Alcázar et al. in einer Reihe von Veröffentlichungen dazu benutzt, euklidische Äquivalenzen und Ähnlichkeiten (welche auch eine Skalierung beinhalten können) von rationalen ebenen Kurven und rationalen Raumkurven zu erkennen. Diese Dissertation beschreibt eine Verallgemeinerung davon in mehreren Bereichen.

Zuerst betrachten wir projektive und affine Äquivalenzen von Kurven beliebiger Dimension. Von allen bisher genannten Transformationen sind projektive die allgemeinsten und affine Transformationen, Ähnlichkeiten sowie euklidische Transformationen können als Spezialfälle aufgefasst werden. Außerdem bietet unsere Methode die Freiheit, Kurven in beliebiger Raumdimension zu betrachten. Als zweiten Schritt beschreiben wir eine Verallgemeinerung unserer Methode auf Flächen. Dazu zeigen wir, dass propere, basispunktfreie rationale Parametrisierungen wieder eindeutig bis auf eine projektive Transformation des Parameterbereichs sind. Somit können wir projektive Äquivalenzen von Flächen in beliebiger Dimension berechnen.

Sowohl bei Kurven als auch bei Flächen erzeugen wir ein polynomiales Gleichungssystem in den vier bzw. neun Variablen, welche die lineare rationale Umparametrisierung beschreiben. Wir lösen dieses Gleichungssystem mittels der Gröbnerbasisimplementierung von Maple, einem bekannten Computer Algebra System. Mittels zahlreicher Beispiele, sowohl für Kurven als auch für Flächen veranschaulichen wir unsere Methode die es uns unter anderem auch erlaubt, bekannte Ergebnisse über die Klassifizierung von quadratisch parametrisierbaren Flächen auf eine einfache Weise nachzuvollziehen.

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