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Titelaufnahme

Titel
Fast Gradient-Based Iterative Regularization Methods for Nonlinear Ill-Posed Problems - Theory and Applications / submitted by Dipl.-Ing. Simon Gerhard Hubmer, Bakk. Techn.
AutorInnenHubmer, Simon Gerhard
Beurteiler / BeurteilerinRamlau, Ronny ; Hofmann, Bernd
Betreuer / BetreuerinRamlau, Ronny
ErschienenLinz, 2018
Umfangv, 114 Blätter : Illustrationen
HochschulschriftUniversität Linz, Dissertation, 2018
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)inverse Probleme / schlecht-gestellte Probleme / zwei-Punkt Gradienten Methoden
Schlagwörter (EN)inverse problems / ill-posed problems / two-point gradient methods
Schlagwörter (GND)Inverses Problem / Inkorrekt gestelltes Problem / Gradientenverfahren / Iteration
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-20981 Persistent Identifier (URN)
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Fast Gradient-Based Iterative Regularization Methods for Nonlinear Ill-Posed Problems - Theory and Applications [11.85 mb]
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Klassifikation
Zusammenfassung (Englisch)

In this thesis, we investigate a class of fast gradient-based iterative regularization methods for nonlinear Inverse and Ill-Posed Problems based on Landweber iteration and Nesterov's acceleration scheme. These so-called Two Point Gradient (TPG) methods have been found to be very useful in practical applications, since they are both easy to implement and lead to a great speedup compared to standard gradient-based methods. While methods utilizing second-order information, which are known for their fast convergence, often become infeasible when dealing with large datasets, gradient-based methods are usually more flexible and able to deal with large datasets, at the disadvantage of requiring a large number of iterations. TPG methods have the potential to bridge the apparent gap between these two classes of methods, being both fast, flexible, and able to deal with large datasets, which are important requirements for any iterative regularization method used for solving inverse problems. This thesis provides a convergence analysis of TPG methods under the common assumption of a tangential cone condition, and covers some well-known choices of commonly used stepsizes. Furthermore, a convergence analysis with the tangential cone condition being replaced by a local convexity assumption more natural to Nesterov's original acceleration idea is performed. These results provide the first successful convergence analysis for TPG methods for the solution of nonlinear ill-posed problems. Apart from these theoretical results, this thesis presents a number of numerical examples showing the usefulness of TPG methods in practical applications. In a number of academic examples, the assumptions required for convergence are considered in detail, and precise comparisons between several TPG methods and standard gradient-based methods are performed. Afterwards, TPG methods are applied to two problems arising in Medical Imaging. The first of these two problems is the imaging technique of Single Photon Emission Computed Tomography (SPECT), where TPG methods are shown to lead to a large speedup in the reconstruction process. The second problem concerns Magnetic Resonance Advection Imaging (MRAI), which is a novel imaging technique for mapping the pulse wave velocity in brain vessel from Magnetic Resonance Imaging (MRI) measurements. For this problem, for which a precise modelling is performed, TPG methods are essential due to the large datasets involved.

Zusammenfassung (Deutsch)

In dieser Arbeit betrachten wir eine Klasse von Gradienten-Basierten Iterativen Methoden für Inverse und Schlecht-Gestellte Probleme basierend auf der Landweber Iteration und Nesterov's Beschleunigungsschema. Diese sogenannten Zwei-Punkt Gradienten (TPG) Methoden sind sehr nützlich in praktischen Anwendungen, da sie einfach zu implementieren sind und zu einer großen Beschleunigung gegenüber Gradienten-Basierten Standardverfahren führen. Während Methoden zweiter Ordnung, die für ihre schnelle Konvergenz bekannt sind, bei großen Datenmengen oft undurchführbar werden, sind Gradienten-Basierte Methoden normalerweise flexibeler und erlauben auch die Behandlung großer Datensätze, mit dem Nachteil, dass sie eine größere Anzahl an Iterationen benötigen. TPG Methoden haben das Potential, die Lücke zwischen diesen beiden Klassen von Methoden zu füllen, da sie schnell und flexibel sind und mit großen Datensätzen arbeiten können, was wichtige Voraussetzungen für alle Iterative Regularisierungsverfahren für Inverse Probleme sind. Diese Arbeit beinhaltet eine Konvergenzanalyse von TPG Methoden unter der Standardannahme einer Tangentialkegel-Bedingung, und umfasst einige bekannte Fälle von oft benutzten Schrittweiten. Darüberhinaus beinhaltet diese Arbeit eine Konvergenzanalyse, bei der die Tangentialkegel-Bedingung durch eine Lokale Konvexitätsannahme ersetzt wird. Diese Resultate stellen die erste erfolgreiche Konvergenzanalyse von TPG Methoden für die Lösung von nichtlinearen schlecht-gestellten Problemen dar. Neben diesen theoretischen Resultaten beinhaltet diese Arbeit auch eine Reihe von numerischen Beispielen, welche den Nutzen von TPG Methoden in praktischen Anwendungen verdeutlichen. In einer Reihe von akademischen Beispielen werden die Annahmen der Konvergenzanalyse im Detail betrachtet, und genau Vergleiche zwischen verschiedenen TPG Methoden und Gradienten-Basierten Standardmethoden durchgeführt. Anschliessend werden TPG Methoden auf zwei Probleme angewendet, die in der medizinischen Bildberarbeitung auftreten. Das erste dieser zwei Probleme ist das bildgebende Verfahren der Einzelphotonen-Emissionscomputertomographie (SPECT), für das TPG Methoden zu einer großen Beschleunigung im Rekunstruktionsprozess führen. Das zweite Problem behandelt Magnet Resonanz Advektions Tomographie (MRAI), das ein neues bildgebendes Verfahren zur Bestimmung der Pulswellen Geschwindigkeit in Blutgefäßen im Gehirn durch Magnet Resonanz Tomographie (MRI) Daten ist. Für dieses Problem, für das eine genaue Modellierung durchgeführt wird, sind TPG Methoden essentiell, aufgrund der dabei auftretenden großen Datensätze.

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