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Titelaufnahme

Titel
A New Approach to Mixed Methods for Kirchhoff-Love Plates and Shells / eingereicht von Dipl.-Ing. Katharina Rafetseder, BSc.
Weitere Titel
Ein neuer Zugang zu gemischten Methoden für Kirchhoff-Love-Platten und Schalen
AutorInnenRafetseder, Katharina
Beurteiler / BeurteilerinZulehner, Walter ; Lovadina, Carlo
Betreuer / BetreuerinZulehner, Walter
ErschienenLinz, 2018
Umfangvi, 119 Blätter : Illustrationen
HochschulschriftUniversität Linz, Dissertation, 2018
Anmerkung
Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)Kirchhoff-Platten / Kirchhoff-Love-Schalen / freier Rand / gemischte Methoden / reguläre Zerlegung
Schlagwörter (EN)Kirchhoff plates / Kichhoff-Love shells / free boundary / mixed methods / regular decomposition
Schlagwörter (GND)Kirchhoff-Love plate theory / Rand / Zerlegung <Mathematik>
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-22368 Persistent Identifier (URN)
Zugriffsbeschränkung
 Das Werk ist gemäß den "Hinweisen für BenützerInnen" verfügbar
Dateien
A New Approach to Mixed Methods for Kirchhoff-Love Plates and Shells [1.35 mb]
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Nachweis
Klassifikation
Zusammenfassung (Deutsch)

Diese Dissertation widmet sich der Entwicklung eines neuen Zugangs zu gemischten Methoden für Probleme vierter Ordnung, wobei der Fokus auf Kirchhoff-Platten und Kirchhoff-Love-Schalen liegt. Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist die Herleitung einer neuen gemischten variationellen Formulierung, welche nur auf üblichen Sobolev-Räumen erster Ordnung (&quot;standard&apos;&apos; H1-Räumen) basiert. Dies ermöglicht die Anwendung bekannter Methoden für Probleme zweiter Ordnung sowohl für die Diskretisierung als auch für die Lösungsstrategie. Im ersten Teil betrachten wir das Kirchhoff-Plattenproblem für die Durchbiegung mit gemischten Randbedingungen, welche eingespannte, gelenkig gelagerte und freie Randteile beinhalten. Für dieses Problem leiten wir eine neue gemischte variationelle Formulierung her, die Brezzis Bedingungen erfüllt und äquivalent zum ursprünglichen Problem ist, ohne zusätzliche Konvexitätsvoraussetzung an das Gebiet. Diese wichtigen Eigenschaften fordern ihren Preis, nämlich die Verwendung eines entsprechenden &quot;nonstandard&apos;&apos; Sobolev-Raums für die Hilfsvariable, den Tensor der Biegemomente, welcher mit der Hesse-Matrix der vertikalen Verschiebung zusammenhängt. Für die vertikale Verschiebung wird der &quot;standard&apos;&apos; H1-Raum (mit entsprechenden Randbedingungen) verwendet. Basierend auf einer regulären Zerlegung dieses &quot;nonstandard&apos;&apos; Sobolev-Raums kann das Problem vierter Ordnung äquivalent als System von drei (hintereinander zu lösenden) elliptischen Problemen zweiter Ordnung in &quot;standard&apos;&apos; H1-Räumen formuliert werden. Dieses Zerlegungsresultat am kontinuierlichen Level führt im Diskreten zu neuen Diskretisierungsmethoden, die flexibel sind im Sinn, dass jede existierende und gut funktionierende Diskretisierungsmethode und Lösungsstrategie für Probleme zweiter Ordnung als Bestandteile für die Konstruktion einer neuen Methode verwendet werden können. Im zweiten Teil betrachten wir das Kirchhoff-Love-Schalenproblem, dies ist ein allgemeineres Problem vierter Ordnung, das neben dem Term vierter Ordnung (vorhanden im Kirchhoff-Plattenproblem für die Durchbiegung) zusätzliche Ableitungsterme niedrigerer Ordnung enthält. Durch eine Erweiterung der für Platten eingeführten Technik erhalten wir eine neue gemischte Formulierung basierend auf &quot;standard&apos;&apos; H1-Räumen. Auf Grund der zusätzlichen Ableitungsterme niedrigerer Ordnung kann das System nicht mehr hintereinander gelöst werden. Dennoch erlaubt dies Flexibilität in der Konstruktion der Diskretisierungsräume, z.B. C0-Kopplung von &quot;multi-patch&apos;&apos; isogeometrischen Räumen ist ausreichend. Im Bezug auf Lösungsstrategien können effiziente Methoden für Probleme zweiter Ordnung wie Mehrgittermethoden zur Konstruktion von Vorkonditionierern für iterative Löser verwendet werden. Die Leistungsfähigkeit der resultierenden Diskretisierungsmethoden für Platten und Schalen wird durch numerische Experimente demonstriert. Im Fall von Platten wird unter der Voraussetzung eines polygonalen Gebiets eine rigorose numerische Analyse durchgeführt. Alle betrachteten Methoden sind in der C++ Bibliothek G+Smo implementiert.

Zusammenfassung (Englisch)

In this thesis, we introduce a new approach to mixed methods for fourth-order problems with focus on Kirchhoff plates and Kirchhoff-Love shells. The main achievement of this work is the derivation of new mixed variational formulations that are only based on standard H1 spaces. This offers the possibility to apply well-known techniques for second-order problems both regarding the discretization and the solution strategy. In the first part, we consider the Kirchhoff plate bending problem with mixed boundary conditions involving clamped, simply supported, and free boundary parts. For this problem a new mixed variational formulation is derived, which satisfies Brezzi&apos;s conditions and is equivalent to the original problem, without additional convexity assumptions on the domain. These important properties come at the cost of involving an appropriate nonstandard Sobolev space for the auxiliary variable, the bending moment tensor, which is related to the Hessian of the vertical displacement. For the vertical displacement the standard Sobolev space H1 (with appropriate boundary conditions) is used. Based on a regular decomposition of this nonstandard space, the fourth-order problem can be equivalently written as a system of three (consecutively to solve) second-order elliptic problems in standard Sobolev spaces. This decomposition result on the continuous level leads in the discrete setting to new discretization methods, which are flexible in the sense, that any existing and well-working discretization method and solution strategy for standard second-order problems can be used as modular building blocks of the new method. ^In the second part, we consider the Kirchhoff-Love shell problem, which is a more general fourth-order problem including beside the fourth-order derivative term (present in the Kirchhoff-plate bending problem) additional lower-order derivative terms. By extending the technique introduced for plates a new mixed formulation solely based on standard H1 spaces is obtained. However, due to the additional lower-order derivative terms, the system can no longer be solved consecutively. Nevertheless, this allows for flexibility in the construction of discretization spaces, e.g., standard C0-coupling of multi-patch isogeometric spaces is sufficient. In terms of solution strategies, efficient methods for standard second-order problems like multigrid can be used as building blocks of preconditioners for iterative solvers. The performance of the resulting discretization methods for plates and shells is demonstrated by numerical experiments. In case of plates, under the assumption of a polygonal domain, a rigorous numerical analysis is performed. All considered methods are implemented in the C++ library G+Smo.

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