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Titelaufnahme

Titel
Algebraic geometry techniques in incidence geometry / submitted by Mehdi Makhul
AutorInnenMakhul, Mehdi
Beurteiler / BeurteilerinSchicho, Josef ; Hauser, Herwig
Betreuer / BetreuerinSchicho, Josef
ErschienenLinz, 2018
Umfangix, 88 Seiten : Illustrationen
HochschulschriftUniversität Linz, Dissertation, 2018
SpracheEnglisch
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)Sylvester-Gallai / Galoisgrupppe / Inzidenzgeometrie
Schlagwörter (EN)Sylvester-Gallai theorem / Galois group / incidence geometry
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-26000 Persistent Identifier (URN)
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Algebraic geometry techniques in incidence geometry [1.53 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Inzidenzgeometrie untersucht das Verhalten endlicher Mengen von Objekten -- Punkten, Geraden, oder Kreisen -- bezüglich geometrischer Operationen wie Kolinearität, Durchschnitt oder Abstand. Arithmetische Kombinatorik untersucht das Verhalten endlicher Teilmengen von Gruppen oder Ringen bezüglich der arithmetischen Operationen, zum Beispiel Addition oder Multiplikation. Diese Thesis versammelt neue Resultate in Inzidenzgeometrie und arithmetischer Kombinatorik. Die Schlüsseltechniken kommen aus der algebraischen Geometrie, der Distantgeometrie und der projektiven Geometrie. Die Hauptresultate sind folgende. Für eine endliche Menge von Punkten definieren wir einen "gewöhnlichen Kreis'' als einen Kreis, der genau drei der gegebenen Punkte enthält. Wir geben die minimale Anzahl von gewöhnlichen Kreisen für eine Menge von n Punkten an, falls n eine genügend große natürliche Zahl ist. Mit Hilfe eines Struktursatzes für Mengen mit wenig gewöhnlichen Kreisen stellen wir fest, wann die Schranke annähernd erreicht wird. Das Obstgartenproblem für Kreise fragt nach der maximalen Anzahl von Kreisen durch genau 4 von n gebenenen Punkten. In Kapitel 3 geben wir diese Anzahl an, und die Mengen bei denen das Maximum erreicht wird, falls n genügend groß ist. Wir untersuchen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällige Gerade eine gegebene ebene Kurve über einem endlichen Körper in einer gegebenen Anzahl von Punkten schneidet. Insbesondere untersuchen wir in Kapitel 4 den Grenzwert dieser Wahrscheinlichkeiten unter einer Folge von Erweiterungen des endlichen Körpers. In Kapitel 5 geben wir eine zweite Lösung für dieses Problem basierend auf dem Dichtesatz von Chebotarev. Kapitel 6 enthält eine Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen. Eine n-stellige reelle Funktion f nennen wir einen Ver-n-facher, wenn eine positive reelle Zahl r existiert, sodass für jede endliche Menge A die Ungleichung |f(A\times \dots A)| > |A| In Kapitel 7 untersuchen wir eine Familie von Ver-n-fachern mit quadratischem Wachstum. Teile der Thesis sind gemeinsamen Arbeiten mit Matteo Gallet, Aaron Lin, Hossein Nassajian Mojarrad, Josef Schicho, Konrad Swanepoel und Frank de Zeeuw entnommen.

Zusammenfassung (Englisch)

The basic objects of incidence geometry are arbitrary finite sets such as points, lines, curves, and we study the behaviours of these objects with respect to geometric operations such as collinearity, incidence or distance. In arithmetic combinatorics we study the behaviour of a finite set with respect to some algebraic operation such as addition or multiplications. In recent years many mathematicians have used some algebraic geometry and algebraic topology techniques to solve some combinatorial problems. Among the most prominent of such problems, one can mention the distinct distance problem, the Kakeya problem over finite fields and the Dirac-Motzkin conjecture. This thesis collects together new results related to the concept of incidence geometry and arithmetic combinatorics. The key tools throughout are from algebraic geometry, discrete geometry and projective geometry. ^These are the main results of this thesis: For a given finite set P we define an ordinary circle to be a circle that contains exactly three of the given points. We will find the exact minimum number of ordinary circles, for sufficiently large n, and we will determine which configurations attain or come close to that minimum in Chapter 3, our proof being based on a structure theorem for the sets with few ordinary circles. The orchard problem for circles asks for the maximum number of circles passing through exactly four points from a set of n points. We determine the exact maximum and the extremal sets for all sufficiently large n in Chapter 3. We study the probability for a random line to intersect a given plane curve, defined over a finite field, in a given number of points. In particular, we focus on the limits of these probabilities under successive finite field extensions in Chapter 4. We are using the Chebotarev density Theorem over finite fields to give another solution to this question in Chapter 5, and we generalise this to higher dimension in Chapter 6. We say that an n-variable real function f is n-expander function if there is some positive real number r such that for every finite subset A of real numbers, the image Cartesian product A under f is of size at least |A

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