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Titelaufnahme

Titel
Nonstandard Sobolev spaces for preconditioning mixed methods and optimal control problems / eingereicht von: Wolfgang Krendl
VerfasserKrendl, Wolfgang
Begutachter / BegutachterinZulehner, Walter ; Schulz, Volker
Erschienen2015
UmfangVII, 110 Bl. : graph. Darst.
HochschulschriftLinz, Univ., Diss., 2015
Anmerkung
Zsfassung in dt. Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)Optimierungsproblem mit PDG als Nebenbedingung / Operator-Präkonditionierung / Sattelpunktsform / Interpolation / gemischte Methoden / optimale Kontrollprobleme / biharmonische Gleichung / Stokes Gleichungen
Schlagwörter (EN)PDE constrained optimization / operator preconditioning / saddle point form / interpolation / mixed methods / optimal control problem / biharmonic equation / Stokes equations
Schlagwörter (GND)Optimierungsproblem / Partielle Differentialgleichung / Optimalitätstheorie / Sobolev-Raum / Präkonditionierung
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-2708 Persistent Identifier (URN)
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 Das Werk ist gemäß den "Hinweisen für BenützerInnen" verfügbar
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Nonstandard Sobolev spaces for preconditioning mixed methods and optimal control problems [2.25 mb]
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Klassifikation
Zusammenfassung (Deutsch)

Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Konstruktion von effizienten Lösern für zwei Problemtypen aus der Klasse der Optimierungsprobleme mit Nebenbedingung in Form von partiellen Differentialgleichungen: Optimale Steuerungsprobleme mit einem quadratischen Kostenfunktional und unbeschränkter Kontrolle, und gemischte Methoden für elliptische Randwertprobleme.

Eine Lösung des Optimierungsproblems kann über die Optimalitätsbedingungen erster Ordnung, auch als Optimalitätssystem bezeichnet, berechnet werden. Für die hier untersuchten Problemtypen ist das Optimalitätssystem linear und besitzt eine Sattelpunktsform.

Nach der Diskretisierung erhalten wir ein großes lineares Gleichungssystem (wieder in Sattelpunktform), für welches ein effizienter Löser erforderlich ist.

Für die Konstruktion eines effizienten Lösers folgen wir einer Herangehensweise die als Operator-Präkonditionierung bezeichnet wird.

Dabei werden effiziente Präkonditionierer basierend auf der Tatsache konstruiert, dass die involvierte Operatorgleichung in einem (Nicht-Standard-)Sobolevraum X gut gestellt ist.

Wir stellen zwei Techniken zur Bestimmung des Raumes X für Probleme in Sattelpunktform vor: Die Interpolations-Technik und die Lagrange-Multiplikator-Technik.

Diese Techniken werden anhand von vier Modellproblemen demonstriert:

1. Für das erste biharmonische Randwertproblem wird eine gut gestellte kontinuierliche gemischte variationelle Formulierung hergeleitet. Diese Formulierung besitzt weiters die Eigenschaft, dass sie auf polygonalen Bereichen äquivalent zu einer primalen standardmäßigen variationellen Formulierung ist. Basierend auf einer Helmholtz-artigen Zerlegung für den involvierten Sobolevraum X lässt sich zeigen, dass das biharmonische Problem äquivalent zu drei (hintereinander zu lösenden) elliptischen Gleichungen zweiter Ordnung ist. Zwei dieser Probleme sind Poisson Probleme, das dritte Problem ist ein planares Elastizitätsproblem mit Poissonzahl 0. In Rahmen dessen diskutieren wir die Hellan-Herrmann-Johnson gemischte Methode und eine modifizierte Version davon. Die einzigartige Eigenschaft der vorgestellten Lösungsmethode für die Hellan-Herrmann-Johnson Methode ist, dass sie ausschließlich auf herkömmliche Lagrange-Finite-Element-Räumen und standardmäßigen Multigrid Methoden beruht. Infolgedessen besitzt die Lösungsmethode optimale Komplexität.

2. Für das optimale Kontrollproblem für die Stokes Gleichungen mit unbeschränkter Kontrolle im zeitperiodischen Fall wird eine gut gestellte kontinuierliche gemischte variationelle Formulierung des entsprechenden Optimalitätssystems hergeleitet. Basierend auf den involvierten parameterabhängigen Normen des kontinuierlichen Problems konstruieren wir einen praktisch effizienten Block-Diagonal-Präkonditionierer, welcher robust bezüglich aller Modell- und Gitterparameter ist. Die theoretischen Resultate werden anhand von numerischen Experimenten mit dem präkonditionierten MINRES-Verfahren illustriert.

3. & 4. Abschließend demonstrieren wir die Interpolations-Technik und die Lagrange-Multiplikator-Technik anhand von zwei weiteren Problemen:

Die Ciarlet-Raviart gemischte Methode für das erste biharmonische Randwertproblem, und das optimale Kontrollproblem für die parabolischen Gleichungen mit unbeschränkter Kontrolle im zeitperiodischen Fall

Zusammenfassung (Englisch)

The main focus of this thesis is on the construction of efficient solvers for two types of problems that fit into the class of PDE-constraint optimization:

Distributed optimal control problems with a tracking-type cost functional and linear state equations, and mixed methods for elliptic boundary value problems.

A solution of an optimization problem can be computed via the first-order optimality conditions, also called the optimality system.

For the type of problems considered here the optimality system is linear and has saddle point form. After discretization we end up with a large scale linear system (again in saddle point form) for which an efficient solver is required.

For the construction of an efficient solver we follow an approach which is called operator preconditioning. There efficient preconditioners are constructed based on the fact that the involved operator equation is well-posed in a (nonstandard) Sobolev space X.

We present two techniques for finding this space X for a problem in saddle point form: Interpolation technique and Lagrangian multiplier technique.

This techniques are demonstrated for four model problems:

1. For the first biharmonic boundary value problem a well-posed continuous mixed variational formulation is derived, which is equivalent to a standard primal variational formulation on arbitrary polygonal domains. Based on a Helmholtz-like decomposition for an involved nonstandard Sobolev space it is shown that the biharmonic problem is equivalent to three second-order elliptic problems, which are to be solved consecutively.

Two of them are Poisson problems, the remaining one is a planar linear elasticity problem with Poisson ratio 0. The Hellan-Herrmann-Johnson mixed method and a modified version are discussed within this framework.

The unique feature of the proposed solution algorithm for the Hellan-Herrmann-Johnson method is that it is solely based on standard Lagrangian finite element spaces and standard multigrid methods for second-order elliptic problems. Therefore, it is of optimal complexity.

2. For the distributed optimal control problem with time-periodic Stokes equations a well-posed continuous mixed formulation of the corresponding optimality system is derived. Based on the involved parameter-dependent norms of the continuous problem, a practically efficient block-diagonal preconditioner is constructed, which is robust with respect to all model and mesh parameters. The theoretical results are illustrated by numerical experiments with the preconditioned minimal residual (PMINRES) method.

3. & 4. In addition we demonstrate the interpolation technique and Lagrangian multiplier technique for two further problems:

The Ciarlet-Raviart mixed method for the first biharmonic boundary problem, and the distributed optimal control problem with time-periodic parabolic equations