Zur Seitenansicht
 

Titelaufnahme

Titel
Symbolic solutions of first-order algebraic differential equations / eingereicht von: Georg Grasegger
VerfasserGrasegger, Georg
Begutachter / BegutachterinWinkler, Franz ; Sendra, J. Rafael
Erschienen2015
UmfangXII, 142 S. : graph. Darst.
HochschulschriftLinz, Univ., Diss., 2015
Anmerkung
Zsfassung in dt. Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)algebraische Differentialgleichung / rationale Parametrisierung / radikale Parametrisierung / algebraische Fläche
Schlagwörter (EN)algebraic differenial equation / rational parametrization / radical parametrization / algebraic surface
Schlagwörter (GND)Algebraische Differentialgleichung / Parametrisierung / Algebraische Fläche
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-3461 Persistent Identifier (URN)
Zugriffsbeschränkung
 Das Werk ist gemäß den "Hinweisen für BenützerInnen" verfügbar
Dateien
Symbolic solutions of first-order algebraic differential equations [1.69 mb]
Links
Nachweis
Klassifikation
Zusammenfassung (Deutsch)

Differentialgleichungen werden seit langer Zeit intensiv studiert. Diverse Methoden für spezielle Fälle wurden entwickelt.

Dennoch gibt es bisher keinen allgemeinen Algorithmus zur Berechnung expliziter exakter Lösungen. Das wichtigste Ziel dieser Dissertation ist die Entwicklung und Untersuchung neuer Methoden zur Berechnung exakter expliziter Lösungen von algebraischen Differentialgleichungen. Hierfür wird das differentielle Problem in ein algebraisch geometrisches umgewandelt, indem die Differentialgleichung als algebraische Gleichung betrachtet wird. Eine solche Gleichung beschreibt eine algebraische Varietät und somit können Werkzeuge der algebraischen Geometrie angewendet werden. Im Speziellen spielen Parametrisierungen von algebraischen Varietäten eine wesentliche Rolle bei der Lösung des Problems und beim Nachweis von Eigenschaften der erhaltenen Lösungen.

Eine allgemeine Idee zum Lösen autonomer algebraischer Differentialgleichungen erster Ordnung wird präsentiert.

Das Hauptresultat der Dissertation ist die konkrete Anwendung der allgemeinen Idee auf gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen.

Die Idee wird für autonome algebraische gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung vorgestellt. Die präsentierte Methode ist eine Verallgemeinerung von bereits existierenden Algorithmen zur Berechnung rationaler Lösungen. Sie ermöglicht die Erweiterung zur Berechnung radikaler Lösungen. Außerdem erlaubt sie eine weitere Verallgemeinerung auf algebraische gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung. Ein zweiter Fokus liegt in der Anwendung der allgemeinen Idee auf partielle Differentialgleichungen in beliebig vielen Variablen. Die präsentierte Methode reduziert das Problem auf ein anderes, für welches Lösungsmethoden existieren. Diverse bekannte Differentialgleichungen lassen sich mit dieser Methode lösen. Außerdem werden Klassen von Differentialgleichungen mit rationalen, radikalen oder algebraischen Lösungen präsentiert. Mit Hilfe linearer Transformationen wird eine Methode für gewisse nicht autonome Differentialgleichungen erreicht.

Die Methoden sind so konstruiert, dass die dadurch erhaltenen Lösungen bestimmte Kriterien erfüllen. Es wird gezeigt, dass algebraische Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen allgemeine Lösungen sind. Rationale Lösungen von partiellen Differentialgleichungen sind bewiesenermaßen echt und vollständig.

Zusammenfassung (Englisch)

Differential equations have been intensively studied for a long time. Various exact solution methods have been proposed for specific cases. Nevertheless, there is no general algorithm for finding explicit exact solutions. The main aim of this thesis is to develop and investigate new methods for computing explicit exact solutions of algebraic differential equations. For this purpose, the differential problem is transformed into an algebraic geometric one by considering the differential equation to be an algebraic equation. Such an equation defines an algebraic variety and hence, tools from algebraic geometry can be applied. In particular, parametrizations of algebraic varieties are intrinsically used to solve the problem and prove properties of the obtained solutions. A general idea for solving first-order autonomous algebraic differential equations is presented.

The main results of the thesis are applications of this general idea to ordinary and partial differential equations. The idea is introduced for first-order autonomous algebraic ordinary differential equations. The presented method is a generalization of an existing algorithm for computing rational solutions. It admits an extension to the computation of radical solutions. Moreover, it allows a further generalization to higher-order algebraic ordinary differential equations.

A second focus lies on the application of the general idea to partial differential equations in arbitrary many variables. The presented method reduces the problem to another one for which solution methods exist.

Various well-known differential equations are solved by this method.

Furthermore, classes of differential equations with rational, radical or algebraic solutions are presented. With the help of linear transformations a solution method for certain non-autonomous differential equations is achieved.

The procedures are constructed in such a way that the obtained solutions thereof satisfy certain requirements. It is shown that algebraic solutions of ordinary differential equations are general solutions.

Rational solutions of partial differential equations are proven to be proper and complete.