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Titelaufnahme

Titel
Problem-adapted regularization for inverse problems in the deterministic and stochastic setting / eingereicht von: Daniel Gerth
AutorInnenGerth, Daniel
Beurteiler / BeurteilerinRamlau, Ronny ; Siltanen, Samuli
ErschienenLinz, September 2015
Umfangviii, 145 Seiten : Illustrationen
HochschulschriftUniversität Linz, Univ., Dissertation, 2015
Anmerkung
Zusammenfassung in deutscher Sprache
SpracheEnglisch
Bibl. ReferenzOeBB
DokumenttypDissertation
Schlagwörter (DE)inverse Probleme / Regularisierung / Tikhonov / Bayesian Approach / Approximate Inverse / Adaptive Optics / Atmospheric Tomography
Schlagwörter (GND)Inverses Problem / Regularisierungsverfahren / Bayes-Verfahren / Adaptive Optik / Tomografie
URNurn:nbn:at:at-ubl:1-5117 Persistent Identifier (URN)
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 Das Werk ist gemäß den "Hinweisen für BenützerInnen" verfügbar
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Problem-adapted regularization for inverse problems in the deterministic and stochastic setting [3.82 mb]
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Zusammenfassung (Deutsch)

Die Modellierung des unvermeidlichen Messfehlers ist von größter Bedeutung für die theoretische und praktische Behandlung Inverser und schlecht-gestellter Probleme. Man betrachtet entweder einen deterministischen, größtmöglichen Fehler oder eine stochastische Formulierung. Beide Varianten haben Vor- und Nachteile. Einige frühere Veröffentlichungen haben Verbindungen zwischen dem Modellen angedeutet wenn in den Annahmen der deterministischen Theorie ein stochastisches Fehlermodell angenommen wird. Ein Hauptanliegen dieser Arbeit ist es, diese Verbindung weiter darzulegen. Als zweites Hauptthema dient eine spezielle Anwendung. Es werden zwei Regularisierungsmethoden für das Problem der atmosphärischen Tomografie für Adaptive Optik untersucht.

Nach der Klärung des Konzepts Inverser und Schlecht-gestellter Probleme werden grundlegende Regularisierungsmethoden im determinisitischen und stochastischen Modell diskutiert und ein Überblick über die vorhandene Literatur zur Verbindung der Modelle gegeben. Vor der Präsentation eigener Ergebnisse, werden einige stochastische Konzepte eingeführt, insbesondere die Ky-Fan-Metrik als Haupttechnik der späteren Analyse.

Die ersten eigenen Resultate erfolgen für Filter-basierte Regularisierungsmethoden. Bevor Konvergenz und Konvergenzraten dieser Methoden unter dem stochastischen Modell gezeigt werden, werden zwei spezielle Filtermethoden im deterministischen Modell diskutiert. Diese, beide genannt fractional Tikhonov regularization, wurden eingeführt um das Überglätten der traditionallen Tikhonov-Regularisierung zu vermeiden. Es wird gezeigt, dass beide nur in Spezialfällen eine Verbesserung bringen obwohl beide sowohl mit einer a-priori Parameterwahl als auch mit dem Diskrepanzprinzip von optimaler Konvergenzordnung sind. Ausgewählte numerische Ergebnisse untermauern die theoretischen Erkenntnisse. Zur Vorbereitung späterer Kapitel wird dann das Problem der atmosphärischen Tomografie für Adaptive Optik eingeführt. Dies ist ein System zur Verbesserung der Bildqualität von auf der Erde stationierter Teleskope. Darauf folgend wird zu einer wavelet-sparsity basierten Regularisierungsmethode in Besov-Räumen übergeleitet. Das deterministische Tikhonov-Funktional wird aus einer rein stochastischen Formulierung motiviert, nämlich dem Bayes'schen Ansatz. Konvergenz und Konvergenzraten unter dem stochastischen Modell werden gezeigt. Durch die Bayes'sche Formulierung werden alle Größen als Zufallsvariablen modelliert. Dies erlaubt die Konstruktion einer neuartigen a-priori Parameterwahlregel. Nach einem akademischen numerischen Beispiel wenden wir die Theorie auf die Atmosphärische Tomografie an, da darin die Unbekannte als Zufallsvariable in einem Besov-Raum interpretiert werden kann. Danach werden die bisherigen Ergebnisse zur Verbindung zwischen deterministischem und stochastischen Fehlermodell zusammengefasst und verallgemeinert. Im numerischen Beispiel nutzen wir das Diskrepanzprinzip zur Bestimmung des Regularisierungsparameters für ein nichtlineares Faltungsproblem mit sparsity-Strafterm. Im letzten Teil der Arbeit stellen wir einen auf der Methode der Approximativen Inversen beruhenden Algorithmus für das atmosphärische Tomografieproblem vor. In dieser Regularisierungsstrategie wird der großteil des Rechenaufwands zur Berechnung sogenannter Rekonstruktionskerne benutzt. Zur Laufzeit müssen nur innere Produkte zwischen Daten und Rekonstruktionskernen ausgewertet werden. Numerische Fallbeispiele zeigen die Konkurrenzfähigkeit dieser Methode.

Zusammenfassung (Englisch)

In theory and application of Inverse and Ill-posed Problems, the modeling of the inevitable measurement noise is of utmost importance.

One either works with a worst case deterministic error model or a stochastic one. Both approaches have their respective advantages and disadvantages. Several works have hinted at connections between both theories when the deterministic assumptions hold except for a stochastic noise model. A main concern of this thesis is to further elaborate this connection. A particular application is the second main thread of the work. Namely, we investigate two regularization approaches for the problem of Atmospheric Tomography in Adaptive Optics. After clarification of the concept of Inverse and Ill-posed Problems we discuss basic regularization strategies and results in both the deterministic and stochastic setting. We then proceed to review the existing literature in regard to connections between the two settings.

Before presenting our own contributions, we introduce some stochastic concepts, in particular the Ky Fan metric which is a main ingredient for our stochastic analysis. We also discuss its connection to convergence in expectation. Our first results are on convergence properties of filter-based regularization methods. Before we show convergence and convergence rates of this type of methods under the stochastic noise assumption, we discuss two particular filter based methods, both called fractional Tikhonov regularization, in the deterministic setting. Being designed to reduce the oversmoothing of traditional Tikhonov regularization, we show that only in special cases they are superior to the standard form although both are of optimal convergence order with an a priori parameter choice as well as with the discrepancy principle.

Selected numerical examples are presented to experimentally verify the theoretical findings. In preparation of later parts of the thesis we then introduce the topic of Atmospheric Tomography for Adaptive Optics, a hardware system used to correct for image perturbations in large earth-bound telescopes caused by atmospheric turbulence. Following this we move to the analysis of a wavelet-sparsity promoting regularization method in Besov spaces. The deterministic Tikhonov-type functional is motivated from a purely stochastic, namely Bayesian, point of view and convergence and convergence rates in the stochastic setting are proven.

In particular, in this approach the unknown is modeled as a random variable. We use this construction to introduce a novel a priori parameter choice rule. After an academic numerical example, we apply to the results to Atmospheric Tomography as the unknown in this problem can be regarded as a Besov-space valued random variable which fits precisely in the theoretical setting. We proceed by summarizing and generalizing our results on the lifting of deterministic convergence results into the stochastic setting for general regularization methods. In our numerical example we use the discrepancy principle to find the regularization parameter for a nonlinear problem with sparsity constraints. In the last part of the thesis we present an algorithm for Atmospheric Tomography based on the method of the Approximate Inverse. In this regularization strategy, most of the computational effort is moved to the computation of so called reconstruction kernels. A fast algorithm is expected as the run-time procedure consists solely of evaluating inner products between the data and the precomputed reconstruction kernels. In our numerical case studies this method leads to results of the same quality as state-of-the-art techniques.

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